「假設你在一個遊戲節目上，台上有三扇門，其中一扇門後面有一輛新車，另外兩扇門後面各有一頭山羊。主持人邀請你選一扇門，你要選哪一扇？」記得電影《決勝21點》（英文名：21）中，非線性代數的課堂上教授Mickey提出的問題嗎？劇中Mickey和Ben對話的橋段讓許多人印象深刻，事實上這正是非常經典的問題－蒙提霍爾問題。讓我們再來深入看看這個問題吧！
蒙提霍爾問題的內容
讓我們繼續前言中Mickey的問題。
Ben接著回答：「呃，一號門。」
「一號門！Ben 選擇了一號門。這時主持人，對了順便一提，他知道門後是什麼，他打開另一扇門。比如他打開的是三號門，而門後面是一頭山羊。」
「Ben，這時你想要選擇原本的一號門，還是換成二號門？改變選擇是否對你有利？」
「沒錯。」
「等等！要記得主持人知道門後是什麼，你怎麼知道他不是在耍你？」
「我並不介意，我的答案是基於統計學。」
「但我只是問你一個簡單的選門問題。」
「是的，但一切都變了。當一開始他讓我選一扇門時，我有33.3%的機率是選對的。但他開了其中一扇門，又給我一個機會再次選擇，如果我選擇另一扇門，選對的機率這時候就變66.7%了。所以我要選擇另一扇二號門，並謝謝你給我額外33.3%的機會。」
這個問題源自一個有名的電視節目－我們成交吧（Let’s Make a Deal）！而名字是依節目主持人蒙提·霍爾所命名。
用簡單易懂的方式了解－畫樹狀圖
一般來說，看見主持人特別打開一扇門還特別給我選擇要不要換，大多會覺得主持人有詐而堅持自己的選擇。就算是理性一點，就直覺上來說選到車子的機率也應該差不多是50%，因為兩個裡面只有一個啊！為什麼最後換門選到車的機率竟然高達66.7%呢？學機率的第一步一定是先畫樹狀圖，我們就利用樹狀圖試畫看看所有狀況吧：
很輕易地我們得到：
變換後獲得車子的機率
\(\displaystyle{= \frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}}\)
\(\displaystyle{=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}}\)
堅持不變後獲得車子的機率
\(\displaystyle{=\frac{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}}\)
\(\displaystyle{=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}}\)
用極端例子打破直覺-假設有1000道門
在數學上若要突破盲點或直覺，很常用的方式是找個極端例子試試看。那這回我們試試看用1000道門會不會比較好理解？
現在我們挑好了一扇門，按照遊戲規則，主持人一樣知道門後是什麼，並打開了另外的998道門（都是羊），並在最後問你要不要換？這時候的你換不換呢？
或許這時候的你覺得他是在打心理戰，因此堅持自己的選擇不換。然而站在統計學的角度，你一開始隨便選的門中獎機率只有1/1000，而主持人在開門時必須刻意不挑有車的那扇門（除非你已經挑中了汽車），他已經幫你挑走了另外997道不會中獎的門，這個行為大大地增加你的中獎機率。
當然這並不是說你換門就一定中，但至少大大增加了你中獎的機率。
直覺的1/2是怎麼回事？
還是覺得1/2這個答案深深吸引你嗎？沒關係，我有一樣的感覺XD 看來我們不能獲邀去 Mickey的小圈圈了。
那麼關於1/2，究竟有沒有一個合理的解釋？答案是有的，由前面畫的樹狀圖其實可以看得出來。
這張圖就是前面樹狀圖的後半段，有發現後半的每個選擇機率都是1/2嗎？
也就是說，我們直覺會認為是1/2，是基於最後面的選擇問題（要換或是不換），所以這個直覺基本上沒錯，卻忽略了前面的條件：主持人知道答案且幫你開了其他道門。
這也恰恰是日常生活中很常出現的謬誤，一旦前面有條件發生，後面的事件機率就會產生巨大的改變，就像Ben說的：it changed everything.
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機率思考
作者：Robert Matthews
人生在世，有三件事可以確定：一是繳稅；二是死亡；三是我們永遠擺脫不了不確定性和隱伏其中的風險。如何掌握不確定性，進而擁有預測能力，一直是人類不斷在尋求的解答。幸好，現代人面臨這些難題，占星、卜卦已經不是唯一、更不是最好的選擇。因為，對於未知與風險，我們如今已擁有理解、掌握、最終勝出的工具：機率學。
加點好料
英文調味
◊ 蒙提霍爾問題 – Monty Hall Problem
◊ 機率 – probability
◊ 條件機率 – conditional probability
◊ 樹狀圖 – tree diagram
