希爾伯特旅館悖論-大家來住希爾伯特大旅館吧!

歡迎來到希爾伯特大旅館!這是一間在希爾伯特腦袋中的旅館,有無限多個房間,有無限多個客人要來入住。不論客人有多少個都得好好喬房間給每位客人進來,你準備好要接手總經理的位置了嗎?


故事背景:

阿班是希爾伯特大旅館的經理,為了發大財,必須想盡辦法把每個客人塞進大旅館中。

希爾伯特大旅館有個特色,他有可數的無限多個房間!但有個小問題,旅館今天每個房間都已經客滿了。

狀況一:有限多個客人需要房間

這時候有一個客人想要住進去。阿班該怎麼辦呢?

為了賺到這位客人的錢,阿班想了想,把原本住在1號房的人移去2號房、原本住在2號房的人移去3號房,以此類推。也就是說第n號房的客人移去n+1號房,那麼這樣就能夠空出1號房給這個客人住了。

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如此一號房就是空的了!

繼續重複這個動作,不論有多少新客人,只要是「有限個」,阿班都可以重複這個步驟讓他們住進來,繼續發大財。

(來了x個客人,就把客人從第n個房間移動到第n+x房間即可)

狀況二:有一輛遊覽車,裡面有無限多個可數的客人需要房間

剛把一位客人安排好後,阿班看到外頭停了一輛遊覽車,上面坐了無限多個、可數的客人。

阿班該怎麼辦呢?這可是個大商機,不能錯過。於是阿班將原本1號房的客人移去2號房,原本住在2號房的人移去4號房,以此類推。也就是說第n號房的客人移去2n號房,那麼這樣無限多個奇數號房就被空出來了,那輛遊覽車上的客人也都有了房間可以住。

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奇數號房就空出來了!

狀況三:有無限多輛遊覽車,每個旅遊團有無限多個客人

好不容易將一輛遊覽車的客人安頓好,這時阿班抬頭一看……天啊!外面有無限多輛遊覽車,每台遊覽車上有無限多個客人!

阿班該怎麼辦呢?可不能錯過,萬一放走這些客人可是巨額的損失啊!這次阿班利用質數,並把每台遊覽車和每個遊覽車上的座位都依照次序編好。

質數2:首先先將原本住在旅館n號房的客人,移去\(2^n\)號房。

質數3:坐在一號遊覽車上n號座位的客人,移去 \(3^n\)號房。

質數5:坐在二號遊覽車上n號座位的客人,移去 \(5^n\)號房。

質數7:坐在三號遊覽車上n號座位的客人,移去\(7^n\)號房。

……

the-Infinite-hotel-paradox-05利用質數的特性分配房間

持續利用質數重複這個步驟,讓每一輛巴士上的每一位乘客都有房間能夠入住。口袋賺飽飽,阿班發大財!

希爾伯特旅館悖論

希爾伯特旅館悖論是由德國數學家大衛·希爾伯特所提出的一個思想實驗。這個悖論主要是要展現無限這個概念對於人類的腦袋來說是多麼困難。你應該有注意到,上面大旅館的例子都是”可數的“無限,萬一”不可數“呢?是不是就更加困難了?

以上觀念如果還是不清楚,可以觀看TEDEd影片The Infinite Hotel Paradox – Jeff Dekofsky

加點好料

The Infinite Hotel Paradox – Jeff Dekofsky
希爾伯特旅館悖論

英文調味

◊ 希爾伯特旅館悖論 – The Infinite Hotel Paradox
◊ 可數的 – countable
◊ 不可數的 – uncountable
◊ 無限的 – infinite
◊ 有限的 – finite


圖片來源:
圖片由阿班製作,圖片元素源自Flaticon
巴士(作者:monkik
門(作者:prettycons
旅館(作者:freepik

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