泰勒斯定理是什麼?圓和直角三角形的小關係

或許有人會說,泰勒斯是哪位,我只知道Taylor Swift。但接下來要講的定理你一定有聽過,而且在國中階段初學幾何時一定也用過不少他的發現。

泰勒斯是誰?

Thales

泰勒斯生於公元前624年(也有翻譯成泰利斯),是古希臘時期的哲學家、數學家,同時也是希臘七賢之一,被後世稱為「科學和哲學之祖」,也有人稱他為「數學之父」。

泰勒斯定理在講什麼?

簡單來說就是一個圓的直徑和圓周上的一點所形成的三角形一定是直角三角形。
再說得更精確一點,直徑對面那個角的角度會是直角。

用稍微數學一點的語言說:假設A、B、C為圓周上的三個點,且AB這條是直徑,則 \(\angle ACB\) 必等於 \(90 ^{\circ}\)

試試看沿著半圓移動橘色點,可以發現角度真的都是90度:

關於泰勒斯定理的證明方式

這個定理的證明方式很簡單,只要再多加一條線就可以看出來了。

從橘色點畫一條線到O點,因為圓的半徑都一樣,所以 \(\triangle AOC\) 和 \(\triangle COB\) 是兩個等腰三角形。
等腰三角形的特性還記得嗎?連接底邊那兩個角(叫做底角)是一樣的,因此 \(\angle CAO = \angle OCA\),另一個三角形也是 \(\angle OBC = \angle BCO\)

為了方便閱讀,我們把 \(\angle CAO\) 這個裡的角度叫做 \(\alpha\) ,\(\angle OBC\) 叫做 \(\beta\)。

由於三角形的內角和是 \(180^{\circ}\),那我們試著把 \(\triangle ABC\) 的內角和用 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 寫出來: \(\alpha + \alpha + \beta + \beta = 2(\alpha+\beta)=180^{\circ}\)

所以 \(\alpha+\beta=90^{\circ}\),這裡 \( \alpha + \beta\) 剛好就是我們在討論的角 \(\angle ACB\)。

如果很難想像也可以再次移動看看橘色點,觀察每個角度的變化:

加點好料

維基百科 – 泰勒斯定理
畢達哥拉斯與泰利斯 – EpisteMath|數學知識
維基百科 – 內角和外角
維基百科 – 米利都的泰利斯

英文調味

◊ 圓 – circle
◊ 圓心 – center of circle
◊ 三角形 – triangle
◊ 等腰三角形 – isosceles triangle
◊ 角 – angle
◊ 內角 – internal angle
◊ 外角 – external angle
◊ 直角三角形 – right triangle


圖片來源:
所有在Geogebra上的圖皆是阿班做的
泰勒斯肖像從維基百科擷取的

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