[微積分]ε-δ定義的觀念釐清

相信大家初次認識微積分時,應該是先學會最簡單的極限概念、微分和積分吧?然而看了微積分相關的書籍才發現怎麼第一章就跑出了奇怪的\(\varepsilon -\delta\) 定義,即使背了也只知道大概,沒有相當透徹的理解。本篇的目的便是把和極限相關的概念釐清,也包含\(\varepsilon -\delta\)定義。

前置觀念

函式

簡單來說,就是你丟一個東西進去函式,會產另一個東西出來。有點像是一種轉換器,在數學、在程式都是如此。

而函式要特別注意:
不能一對多,也就是說我現在丟一個東西進去這個函式,他不能產出不同的東西。

極限要討論什麼?

我們現在有一個函式 \(f(x) \),想知道當 \(x\) 很靠近 \(c\) 時會發生什麼事,這時候我們會將這個狀態叫做

\(\displaystyle{ \lim_{x\to c}f(x)}\)

極限有幾項特點:

♦ 極限討論的是”很靠近”某個點(例如點c好了)所對應的值,所以函數在那個點c有沒有定義並不重要。
♦ 從左邊靠近、從右邊靠近都會對應到同一個點,我們才會說這個極限存在。
♦ 換句話說,左極限、右極限存在且左極限=右極限,那麼這個函式的極限就存在。
♦ 我們討論的範圍是專注在某個點附近,也就是說我們只在意這範圍,再更外面的值,就算函式再怎麼亂跑,都不關我們的事。

下面是有關極限的簡單概念圖:
以\(f(x)=x^2\)作為例子,可以拉拉看圖中的拉桿,觀察 \(\varepsilon\) 和 \(\delta\) 的相對變化。

符號認識

♦ \(\delta\)
念作delta。在x軸上,我們用 \(\delta\) 去靠近 \(x\) 在x軸上的值 \(c\)

\(\left| x-c \right|<\delta\)

♦ \(\varepsilon\)
念作epsilon。在y軸上,我們用 \(\varepsilon\) 去靠近 \(f(x)\) 在y軸上的值 \(L\)

\(\left| f(x)-L \right|<\varepsilon\)

♦ \(\forall\)
這個符號是取自 for all 的A,並將他到過來寫,念作 for all (中文:對於所有的)。

♦ \(\exists\)
這個取自 exists 的 e,念作 exists (中文:存在)。

喔對了,一般在電腦上搜尋到的可能會是這種 \(\epsilon\)(在latex中他叫epsilon),但手寫的時候阿班還是比較喜歡這個型態 \(\varepsilon\)(在latex中他叫varepsilon),所以我在這裡用的都是第二種。都是同一種東西,沒有什麼對或不對,一切看你習慣。

若對於像這樣的希臘字母有興趣或是還有疑惑,歡迎你們加點這道主菜:數學材料-希臘字母

極限的定義

在以上的前置觀念中,我們已經將初步的概念鋪好了,接下來很簡單,只要把這些觀念用數學符號組起來即可。

既然都說要討論”極限”,也就是說我們的”很靠近”必須是無敵靠近,就是「要多靠近就有多靠近」。我們已經知道在x軸和y軸上變數的距離表示方法了,那麼對於這個無敵靠近的概念,又要如何用數學式子表示?

首先得先知道這個概念是動態的,因此數字並不會固定。

從上面說的概念再次疊加上去:

對於每一個 \(\varepsilon\) 靠近,皆存在有 \(\delta\) 的靠近,使得對每一個 \(x\) 在 \(0<\left| x-c \right| < \delta\) 都滿足 \(\left| f(x)-L \right| < \varepsilon\)

接著再把上面的敘述寫得更數學一些:

\(\varepsilon -\delta\) 定義

We say that \(\displaystyle{\lim_{x \to c}f(x)=L}\)

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) such that \(\forall x \; in \; 0<\left|x-c\right|<\delta, \; \left|f(x)-c\right|<\varepsilon\)

相信這個轉換並不會難倒你。

剛才有提到過,從左邊靠近和從右邊靠近後對應到的值必須是一樣,我們才能說這個極限存在。那麼單就”左邊靠近”是否也能討論?當然有!而且還有另外的名稱叫做「左極限」,而從右邊靠近所對應到的就是「右極限」。接下來便是關於左極限和右極限的定義:

左極限定義

We say that \(\displaystyle{\lim_{x \to c^-}f(x)=L}\)
\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) such that \(\forall x \; in \; (c-\delta,c), \; \left|f(x)-c\right|<\varepsilon \)

右極限定義

We say that \(\displaystyle{\lim_{x \to c^+}f(x)=L}\)
\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) such that \(\forall x \; in \; (c,c+\delta), \; \left|f(x)-c\right|<\varepsilon\)

以上是粗略地針對 \(\varepsilon -\delta\)定義講解,另外令初學者頭痛的\(\varepsilon -\delta\)定義題目會在另一道菜進行講解,敬請期待!

如果有時間,一定要去聽聽看高淑蓉老師的開放式課程,打下最穩固的基礎。


加點好料

數學材料-希臘字母
清大數學系開放式課程-微積分一(高淑蓉)

英文調味

◊ 極限 – limit
◊ 微積分 – calculus
◊ 希臘字母 – greek alphabets
◊ 定義 – definition

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