[微積分]ε-δ定義的基本題型

在上一道菜[微積分]ε-δ定義的觀念釐清中,我們知道到了ε-δ定義的實際意義。知道定義後,這次我們要來實際運用它。在本道菜色中提出了基本題型,希望能讓你們更清楚的瞭解。


「存在有δ >0」的狀況

可分為兩種狀況討論:

  1. 去找 \(\delta >0\),隱含意思是「去證明 \(\displaystyle{\lim_{x \to c}f(x)=L}\)」
    也就是說,定義尚未成立,因此要去找 \(\delta >0\)
  2. 得到 \(\delta >0\),隱含意思是「已知有 \(\displaystyle{\lim_{x \to c}f(x)=L}\)」
    這種狀況是定義已經成立了(才會得到 \(\delta >0\))

題目講解

在此之前,建議先把\(\varepsilon -\delta\) 定義弄熟(甚至是放在旁邊對照也可),才能知道這題目的意義在哪裡。廢話不多說,直接進行題目講解:

基本題型

這種題型可說是剛接觸 \(\varepsilon -\delta\) 定義時必做的題目:
Show that \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}3x=6}\)

proof:
先給定 \(\varepsilon\):Let \(\varepsilon>0\)

再來要找 \(x\) 滿足 \(\left | f(x)-L \right | < \varepsilon\) 這個不等式,在這個例子就是滿足 \(\left | 3x-6 \right | < \varepsilon\) 。

因此接下來要做的事是,利用已知的東西(\(\left | 3x-6 \right | < \varepsilon\)),想辦法和 \( x-2\) 這個式子扯上關係。
把上述式子化簡:
\(\left | 3x-6 \right | < \varepsilon\)
\(\Rightarrow 3\left | x-2 \right | < \varepsilon\)
\(\Rightarrow \left | x-2 \right | < \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\)

有把定義弄懂的話,很容易就可以看出 \(\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\) 代表的意義是題目的狀態中(希望 \(f(x)=3x\) 的值靠近6),所能取到對x的最大區間。也如ε-δ定義的觀念釐清所說,這種取範圍的方式很多,只要不離開所關注的點,小於或等於最大區間就行。

calculus-limit-epsilon-delta-definiton-example-01

既然已經求出最大區間了,我們可以直接把這個 \(\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\) 叫做 \(\delta\),並把最後結論用數學語言寫:

Take \(\delta = \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\).
Then \(\forall x \; in \; 0 < \left | x-2 \right | < \delta, \; \left | 3x-6 \right | < \varepsilon \)
(這部分就湊出 \(\varepsilon -\delta\) definition 的敘述了)

最後要記得提到當初要證明的東西:
Therefore \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}3x=6}\)


完整的證明長這樣:
Let \(\varepsilon>0\)

\(\left | 3x-6 \right | < \varepsilon\)
\(\Rightarrow 3\left | x-2 \right | < \varepsilon\)
\(\Rightarrow \left | x-2 \right | < \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\)

Take \(\delta = \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\).
Then \(\forall x \; in \; 0 < \left | x-2 \right | < \delta, \; \left | 3x-6 \right | < \varepsilon \)
Therefore \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}3x=6}\)


稍微變化的題型

題型基本上一樣,只是過程稍微變化。
Show that \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}x^2=4}\)

proof:
一樣先給定 \(\varepsilon\):Let \(\varepsilon>0\)
再來要找 \(x\) 滿足 \(\left | x^2-4 \right | < \varepsilon\) 這個不等式。這裡的想法也跟上題一樣,要討論 \(x\) 靠近2的行為,必須利用已知的\(\left | x^2-4 \right | < \varepsilon\) 去找 \(x-2\) 的範圍。

化簡:
\(\left | x^2 -4 \right |\)
\(=\left | (x-2) \right | \left | (x+2) \right | \)
\(=\left | x-2 \right | \left |x+2 \right | < \varepsilon\)

最後也得出 \(x-2\) 的範圍,但好像有點不一樣:
\(\left |x-2 \right | < \displaystyle{\frac{\varepsilon}{\left |x+2 \right |}}\)

和第一個範例不同的是,式子的右邊仍是一個函式,所以我們需要針對 \(x\) 做處理。

就定義來看,這裡的範圍怎麼取都無所謂,但就是不能脫離2這個點。我隨便訂個數字,例如前後範圍是1 好了。接著利用我們訂出來的範圍去估 \(x+2\) ,這是我們的目標。

Assume \(\left |x-2 \right | < 1\) (要記得這裡的範圍是自己訂的)
Then \(-1< x-2 < 1\)
\(\Rightarrow 1< x < 3\)
\(\Rightarrow 3< x+2 < 5\)
\( \Rightarrow \left | x+2 \right | < 5\)

因此我們可以再回到原本卡住的地方,利用這個訂出來的範圍繼續寫下去。

\(\left | x^2 -4 \right |\)
\(=\left | x-2 \right | \left |x+2 \right | <5\left | x-2 \right |\)( 因為 \(\left | x+2 \right | < 5\) )
\(< \varepsilon\)
\(\Rightarrow \left | x-2 \right |< \displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}}\)

這樣又可以回歸定義了,但是這裡要注意:
我們剛剛有對 \(x\) 自己抓了一個範圍,但是無法確定自己抓的這個數值會不會比\(\displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}}\)還小(畢竟要討論的是 \(x\) 的靠近,不能反而取一個不夠靠近的數值),所以取 \(\delta\) 時要特別取較小值以防這個情況:

Take \(\delta = min(1,\displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}})\)
Then \(\forall x \; in \; 0 < \left | x-2 \right | < \delta,\;\left | x^2-4 \right | < \varepsilon\)
Therefore \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}x^2=4}\)

calculus-limit-epsilon-delta-definiton-example-02

這裡想表達的是,即使取一個點的範圍時左右兩邊給不一樣大小,
只要沒偏離要關注的點,不論範圍怎麼取都是可以的


完整的證明長這樣:

Let \(\varepsilon>0\)

\(\left | x^2 -4 \right | \)
\(=\left | (x-2) \right | \left | (x+2) \right | \)
\(=\left | x-2 \right | \left |x+2 \right | \)
\(< \varepsilon\)

\(\Rightarrow \left |x-2 \right | < \displaystyle{\frac{\varepsilon}{\left |x+2 \right |}}\)

Assume \(\left |x-2 \right | < 1\)
Then \(-1< x-2 < 1\)
\(\Rightarrow 1< x < 3\)
\(\Rightarrow 3< x+2 < 5\)
\( \Rightarrow \left | x+2 \right | < 5\)

\(\left | x^2 -4 \right | =\left | x-2 \right | \left |x+2 \right | \)
\(<5\left | x-2 \right |\)
\(< \varepsilon\)
\(\Rightarrow \left | x-2 \right |< \displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}}\)

Take \(\delta = min(1,\displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}})\)
Then \(\forall x \; in \; 0 < \left | x-2 \right | < \delta,\;\left | x^2-4 \right | < \varepsilon\)

Therefore \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}x^2=4}\)


加點好料

[微積分]ε-δ定義的觀念釐清
清大數學系開放式課程-微積分一(高淑蓉)

英文調味

◊ 極限 – limit
◊ 微積分 – calculus
◊ 定義 – definition


圖片來源:
文章精選圖片、文內圖片皆由阿班製作

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