0.999999…..=1? 每年都要辦的0.9bar周年慶!

\(0.\bar{9}=1\)? 這個問題幾乎每年都會在民間被拿出來吵一輪,對長期有在數學相關社團或群組的人來說可能已經感到有些厭煩。今年厲害的是吵到已經在FB成立一個專門討論此問題的社團了,說是未來又吵架時,可以引流,還大家一個清淨。
此外不論是想反串、想認真討論、或是小屁孩對於大數學家的質疑,加加減減一共出現了20多篇與此有關的貼文,根本是0.9bar周年慶吧 XD熱潮又漸漸過去,數之釜今天也來挑戰炒冷飯,看是否能炒出老少咸宜的滋味。

(原先想將這篇文章放置在「湯」的分類,但後來覺得這問題其實腦袋稍微轉一下應該也符合大眾口味,因此你在「主菜」也能看到此文章。)


認識名詞和符號

在討論這個問題前先介紹幾個名詞以及符號給大家認識。

有限小數

小數部分位數有限的數。簡單來說就是小數點後面的數字會在某處停下來,有限小數都可以寫成分數型態(所以是有理數)。

0.2851、4.1531235687130、0.11111111 諸如此類的都是有限小數。

無限小數

小數部分位數無限的數。簡單來說就是和有限小數相反,小數點後面的數字會一直延伸下去、永無止盡。

\(\pi = 3.1415926……\)、\(e=2.71828182846……\) 這種都是無限小數。

循環小數

小數點後某位開始,幾個位數循環一次的小數。還可以分為有限循環小數和無限循環小數,不過對阿班來說,有限循環小數不太有討論的必要(通常就當一般有限小數處理)。無限循環小數比較常被拿出來討論,他可以被表示成分數的型態。

0.142857142857142857……是一個無限循環小數,他可以被表示成 \(\displaystyle \frac{1}{7}\)。

為了能清楚辨識循環小數的特性(幾個位數循環一次),在我們會在重複循環的那組數字上加上一條線(又叫做bar):

\(\displaystyle \frac{1}{7}=0.142857142857142857……=0.\overline{142857}\)

極限以及收斂

這個部分在數之釜可以多開一個套餐來講了XD 這裡簡單帶過:

我們把一個數列叫做 \({x_n}\),當這個數列延展到無限個時(也就是n要越接近\(\infty\))會越來越接近某個數(叫做\(x_0\))時,我們會寫成:

$$\lim_{n \to \infty}{x_n}=x_0$$

\(0.\bar{9}=1\)?

切入主題,\(0.\bar{9}=1\)嗎?我可以直接告訴你,是的,而且現階段已經有好多數學家用各種不同的方式證明了,但在平凡人間廣為流傳的就是哪幾種比較被大眾所接受的版本。那為什麼這個問題可以一年一吵?比較小的原因是,大眾對於數學界的生態並不熟悉,對於證明的手法也相當陌生,所以幾乎每年都能看到用一些光怪陸離的想法試圖推翻證明的(例如說用生物鏈還化學分子之類的理論要討論\(0.\bar{9}=1\)的問題,嗯……)。不過最大的主因其實是無限對於人的大腦來說是很難接受的概念,光是一堆人在堅持「那消失的0.00……1跑去哪裡了」就可以略知一二。

哼,所有證明我只服刀子上的蛋糕!!(過兩天要被數之釜開除了)

也不能怪他們,無限確實不是一個很容易的概念。一位叫做希爾伯特的德國數學家就曾經提出了一個思想實驗,一般我們叫它「希爾伯特旅館悖論」,他想傳達便是無限對於人類的腦袋來說是多麼困難(雖說是悖論,但它並不矛盾,只不過是違背我們的認知而已)。想知道更詳細的故事,可以參考阿班的一道湯品 – 希爾伯特旅館悖論-大家來住希爾伯特大旅館吧!

各階段會碰到的解法

以下是依各階段普通學生能接受的程度所做的分類:

小學生解法

小學有自己按過計算機的人應該會發現有些數字除不盡,像是1÷3小數點後面就是無窮無盡的3,或是用直式除法也能觀察出來。
小學也具備了等號兩邊同除一個不等於0的數字,結果等號還是成立的概念。以這個為出發點:

1÷3=0.33333333……
0.9999999……÷3=0.33333333……

都長一樣,所以成立。

雖然這種方式超級不嚴謹,邏輯上也有蠻大的缺失。例如你怎麼能夠確定1÷3不會在某一位數突然變成不是3的數字?等等諸如此類的問題,但這種方式確實對這個階段的同學來說直觀一些。

中學生解法

到國高中學習到基本代數的概念,我們可以把一些數指定給某些英文字母了。例如:

\(
\text{Let} \; a = 0.\bar{9}.\\
\text{Then} \;10a = 9.\bar{9}\\
(10a-a) = 9a = 9.\bar{9} – 0.\bar{9} = 9\\
\Rightarrow a=1
\)
所以 \(a = 0.\bar{9} = 1\)

這個階段我們可以免去除法這個煩人的不確定選項,用10去乘以無限循環的小數比較好接受(就是整坨數字進一位的概念),這個方法通常也是我們用來取「有限循環小數」的分數寫法。

高中生解法

這階段開始接觸較完整的極限以及無窮的概念了,那麼我們試作看看。

\(0.999…\\
=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}0.\underbrace{999…9}_{\text{n}}}\\
=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^k}}\\
=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left( 1-\frac{1}{10^n} \right)\\
=1-\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{10^n}}\\
=1
\)

無賴解法

當你受夠了一堆數學符號和迂迴曲折的方法,那這個純數字減法的選項應該很適合你。

在討論這題時,「無限循環」是一個重要關鍵,我們也知道兩個相等的東西相減會等於零。既然如此我們直接減減看:

\begin{array}{r}
1.000000…… \\
-0.999999……\\
\hline
0.000000…… \\
\end{array}

寫完這個式子後,直觀上我們心裡知道有某處(也就是最後一位)會需要填上一個1,但若真的填上了1,便會使0.999999…… 這個數字變成有限小數。那就暫時不填1吧,繼續走下去到能填1的那一刻,結果發現這是不可能的,因為0.9999…… 的9永無止盡,他沒有最後一個9,所以你的答案不會有最後一個1。因此\(1=0.\bar{9}\)。


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加點好料

維基百科 – 0.999…
無限的觀念~0.9是否等於1?

英文調味

◊ 無限 – infinite
◊ 循環小數 – repeating decimal or recurring decimal


圖片來源:
文章精選圖片來源:維基百科
關於蛋糕的數學迷因圖,是網路上網友的留言抓下來的,來源已不可考。

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