三門問題-在電影《決勝21點》中的蒙提霍爾問題

「假設你在一個遊戲節目上,台上有三扇門,其中一扇門後面有一輛新車,另外兩扇門後面各有一頭山羊。主持人邀請你選一扇門,你要選哪一扇?」記得電影《決勝21點》(英文名:21)中,非線性代數的課堂上教授Mickey提出的問題嗎?劇中Mickey和Ben對話的橋段讓許多人印象深刻,事實上這正是非常經典的問題-蒙提霍爾問題。讓我們再來深入看看這個問題吧!


蒙提霍爾問題的內容

讓我們繼續前言中Mickey的問題。

Ben接著回答:「呃,一號門。」

「一號門!Ben 選擇了一號門。這時主持人,對了順便一提,他知道門後是什麼,他打開另一扇門。比如他打開的是三號門,而門後面是一頭山羊。」

「Ben,這時你想要選擇原本的一號門,還是換成二號門?改變選擇是否對你有利?」

「沒錯。」

「等等!要記得主持人知道門後是什麼,你怎麼知道他不是在耍你?」

「我並不介意,我的答案是基於統計學。」

「但我只是問你一個簡單的選門問題。」

「是的,但一切都變了。當一開始他讓我選一扇門時,我有33.3%的機率是選對的。但他開了其中一扇門,又給我一個機會再次選擇,如果我選擇另一扇門,選對的機率這時候就變66.7%了。所以我要選擇另一扇二號門,並謝謝你給我額外33.3%的機會。」

這個問題源自一個有名的電視節目-我們成交吧(Let’s Make a Deal)!而名字是依節目主持人蒙提·霍爾所命名。

用簡單易懂的方式了解-畫樹狀圖

一般來說,看見主持人特別打開一扇門還特別給我選擇要不要換,大多會覺得主持人有詐而堅持自己的選擇。就算是理性一點,就直覺上來說選到車子的機率也應該差不多是50%,因為兩個裡面只有一個啊!為什麼最後換門選到車的機率竟然高達66.7%呢?學機率的第一步一定是先畫樹狀圖,我們就利用樹狀圖試畫看看所有狀況吧:

monty-hall-problem-01

很輕易地我們得到:

變換後獲得車子的機率
\(\displaystyle{= \frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}}\)

\(\displaystyle{=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}}\)

堅持不變後獲得車子的機率
\(\displaystyle{=\frac{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}}\)

\(\displaystyle{=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}}\)

用極端例子打破直覺-假設有1000道門

在數學上若要突破盲點或直覺,很常用的方式是找個極端例子試試看。那這回我們試試看用1000道門會不會比較好理解?

現在我們挑好了一扇門,按照遊戲規則,主持人一樣知道門後是什麼,並打開了另外的998道門(都是羊),並在最後問你要不要換?這時候的你換不換呢?

或許這時候的你覺得他是在打心理戰,因此堅持自己的選擇不換。然而站在統計學的角度,你一開始隨便選的門中獎機率只有1/1000,而主持人在開門時必須刻意不挑有車的那扇門(除非你已經挑中了汽車),他已經幫你挑走了另外997道不會中獎的門,這個行為大大地增加你的中獎機率。

monty-hall-problem-02

當然這並不是說你換門就一定中,但至少大大增加了你中獎的機率。

直覺的1/2是怎麼回事?

還是覺得1/2這個答案深深吸引你嗎?沒關係,我有一樣的感覺XD 看來我們不能獲邀去 Mickey的小圈圈了。

那麼關於1/2,究竟有沒有一個合理的解釋?答案是有的,由前面畫的樹狀圖其實可以看得出來。

monty-hall-problem-03

這張圖就是前面樹狀圖的後半段,有發現後半的每個選擇機率都是1/2嗎?

也就是說,我們直覺會認為是1/2,是基於最後面的選擇問題(要換或是不換),所以這個直覺基本上沒錯,卻忽略了前面的條件:主持人知道答案且幫你開了其他道門。

這也恰恰是日常生活中很常出現的謬誤,一旦前面有條件發生,後面的事件機率就會產生巨大的改變,就像Ben說的:it changed everything.

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機率思考

作者:Robert Matthews

人生在世,有三件事可以確定:一是繳稅;二是死亡;三是我們永遠擺脫不了不確定性和隱伏其中的風險。如何掌握不確定性,進而擁有預測能力,一直是人類不斷在尋求的解答。幸好,現代人面臨這些難題,占星、卜卦已經不是唯一、更不是最好的選擇。因為,對於未知與風險,我們如今已擁有理解、掌握、最終勝出的工具:機率學。

加點好料

♦ 蒙提霍爾問題(一)決勝21點
♦ 蒙提霍爾問題

英文調味

◊ 蒙提霍爾問題 – Monty Hall Problem
◊ 機率 – probability
◊ 條件機率 – conditional probability
◊ 樹狀圖 – tree diagram


圖片來源:
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