黃金比例-費波那契數列是什麼

費波那契肖像
(圖片來源:維基百科

故事得從約八百多年前(約1202年)說起,當時義大利一位名叫費波納契的人在他的書中,用數學染指了兔子家族,呃不是,是以一個有趣的數學模式讓兔子繁衍:(不過也有一個說法是說他真的觀察到兔子的繁衍數量總是維持一定比例)

費波納契提出的兔子問題

1. 小兔出生後兩個月就能長成大兔,大兔可以生小兔。

2. 大兔子每個月可以生一對小兔,而且剛好是公母各一。

3. 兔子永遠不死。

如果現在有一對剛生下來的小兔子,一年之後總共會有幾對兔子?

沒錯,當兔子被數學纏上,一切都將變得離奇。
我們暫時先忽略這股離奇,試試將兔子繁衍的過程列出來。

深綠色:具生育能力的大兔子
淺藍色:剛長成大兔子,還不具生育能力
黃色:小兔子

以表格列出來的話,大概會是這樣子:

時間大兔子小兔子 
第一個月01只有1對小兔子
第二個月10小兔子剛長成大兔子
第三個月11大兔子生了1對小兔子
第四個月211對小兔子長大(一共1+1對大兔子)
原本的大兔子生1對小兔子
第五個月321對小兔子長大(一共2+1對大兔子)
上個月的2對大兔子生2對小兔子
第六個月532對小兔子長大(一共3+2對大兔子)
上個月的3對大兔子生3對小兔子
第七個月853對小兔子長大(一共5+3對大兔子)
上個月的5對大兔子生5對小兔子
第八個月1385對小兔子長大(一共8+5對大兔子)
上個月的8對大兔子生8對小兔子
第九個月21138對小兔子長大(一共13+8對大兔子)
上個月的13對大兔子生13對小兔子
第十個月342113對小兔子長大(一共21+13對大兔子)
上個月的21對大兔子生21對小兔子

費氏數列

將大兔子的數量寫成數列:

\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……\)

如果用數學式寫:

\(F_{0}=0\) (初始值,預設第0個月沒有兔子)

\(F_{1}=1\) (初始值,預設第1個月有1對大兔子)

\(F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\)(第n個月的兔子是第n-1個月的兔子加上第n-2個月的兔子)

\(F_{n}\)是費氏數列的第n項,例如說\(F_{8}\)是費氏數列第8項,也就是21,那就可以寫\(F_{8} = 21\)

\(F_{0}=0\)

\(F_{1}=1\)

\(F_{2}=F_{1}+F_{0}=1+0=1\)

\(F_{3}=F_{2}+F_{1}=1+1=2\)

\(F_{4}=F_{3}+F_{2}=2+1=3\)

\(F_{5}=F_{4}+F_{3}=3+2=5\)

\(F_{6}=F_{5}+F_{4}=5+3=8\)

\(F_{7}=F_{6}+F_{5}=8+5=13\)

\(F_{8}=F_{7}+F_{6}=13+8=21\)…到目前為止還沒看出個有趣的端倪。

不用緊張,有關於費氏數列的神奇之處也是慢慢觀察出來的喔!在此之前,我們先跳去談談黃金比例。

黃金比例

首先,想發現偉大之物就得先玩一玩手邊所擁有的東西。例如我們現在擁有費波納契數列,那我們就把它除一除。試試看後項除以前項:

\(\displaystyle{\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{1}{1}=1}\)

\(\displaystyle{\frac{F_{3}}{F_{2}}=\frac{2}{1}=2}\)

\(\displaystyle{\frac{F_{4}}{F_{3}}=\frac{3}{2}=1.5}\)

\(\displaystyle{\frac{F_{5}}{F_{4}}=\frac{5}{3}=1.666666…}\)

\(\displaystyle{\frac{F_{6}}{F_{5}}=\frac{8}{5}=1.6}\)

\(\displaystyle{\frac{F_{7}}{F_{6}}=\frac{13}{8}=1.625}\)

\(\displaystyle{\frac{F_{8}}{F_{7}}=\frac{21}{13}=1.615384…}\)

\(\displaystyle{\frac{F_{9}}{F_{8}}=\frac{34}{21}=1.619047…}\)

有沒有發現比值總是在某些數字上打轉?

1.618-比較常見的名字是「黃金比例」、「黃金分割」或直接稱它為「黃金數字」,在數學符號中我們會用\(\varphi\)。當然,就像是 \(pi\) 你通常會記成3.14一樣,1.618只是一個大概值,準確值為:

\(\displaystyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

而數學上以代數式定義的話是這麼表示的:

\(\displaystyle{\frac{a+b}{a}}= \frac{a}{b}= \varphi  (a>b>0) \)

如果你有自己查資料的習慣,應該也會看到有人說是0.618,其實只是 1.618:1 或是 1:0.618 這種前後差異的關係,一般講到 \(\varphi\) 如果是指黃金數字的話,還是會習慣用1.618。

好的,我們現在已經把費氏數列與黃金比例的關係接在一起了,那麼先前的問題又來了-這個數字究竟神奇在哪?黃金在哪?先讓你消化一下,這篇主要是讓你有個數學上的概念及認知,其他神奇的地方就讓我們留到下一道主菜-「黃金比例-生活中哪裡能看到」再來跟你分享!

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