黎曼 Riemann

初次學習微積分,在牛頓之前必定會先認識黎曼,除了大家都知道的黎曼積分外,黎曼ζ函數、黎曼-希爾伯特問題和柯西-黎曼方程也是高等數學課程中一定會接觸到的。而黎曼又是個怎麼樣的人呢?且聽阿班娓娓道來…

 


黎曼小資訊

格奧爾格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼
Georg Friedrich Bernhard Riemann
出生:1826年09月17日
逝世:1866年07月20日
國籍:漢諾瓦王國(位於現今德國)

黎曼肖像
(圖片來源:維基百科

早期生活

黎曼的父親(Friedrich Bernhard Riemann)是當地路德會的牧師,在家中如同老師一般教育著子女,對於黎曼早期的教育扮演著重要的角色。直到黎曼14、15歲時,搬去漢諾瓦和祖母生活,並進入中學學習,也在當時遇到了很棒的老師,指導他接觸科學的經典作品。黎曼從小就展現出傑出的數學技能,當時他也對數學產生獨特的興趣。在20歲時依照父親的意願進入哥廷根大學神學院,也聽了幾場數學講座(當時高斯就在哥廷根大學),他意識到心中仍然愛著數學,由於他與家庭的感情非常好,想轉學院也會與父親商量,所幸順利得到家人的允許,改學數學。

慕名跑去柏林大學

在哥廷根大學中,黎曼發現教授們因為當時人們數學水準低落,大都只教導基礎科目,大家也對教授的權威感到敬畏三分,但在這樣的環境氛圍下,有天賦的學生是很難與教授討論或請益的。當時黎曼聽說柏林大學學風相對自由開放(當時正激盪民主的思潮),兩位大數學家,雅可比和狄利克雷(Jacobi和Dirichlet),甚至還對學生講授自己仍在思考中的題目,這對黎曼來說吸引力相當之大,並在哥廷根大學待了一年後,轉而前往柏林待了兩年,並回到哥廷根完成博士論文。

影響黎曼一生的人

其實當時黎曼博士論文的指導老師就是高斯,當初受啟發的數學講座也是高斯講授的。在這個時期,不僅僅是高斯對黎曼有顯著影響,在柏林大學時期,黎曼和雅可比、狄利克雷對於數學有非常熱切地討論,狄利克雷的成果也對黎曼的論文也有深遠的影響。當時知名物理學家韋伯(Weber)回到哥廷根擔任物理學主任,之後黎曼擔任了18個月的助手。在利斯廷(Listing,於1849年被任命為哥廷根物理學教授)、韋伯的影響之下,黎曼也發展出相當強大的物理背景,尤其是往後黎曼在拓樸學的研究,有許多思想是由利斯廷身上所獲得的。

一些黎曼系列的數學成就

接下來要提到黎曼數學成就的相關名詞,可能是數學系或物理系,或任何有修過高等數學課程會比較熟悉的。

•黎曼積分

先來個大部分人有聽過的名詞XD 有修過微積分的同學,相信對於「可積分」這個概念相當的熟悉吧!當時柯西(Cauchy)和狄利克雷都曾經對於可積分做過討論,而黎曼則又提出不同於以往的定義,也就是我們現在所熟悉的黎曼積分。直到近代,黎曼積分又被推廣出勒貝格積分(Lebesgue integral),也是現代數學中的一個積分概念,在許多數學領域中擁有重要地位。

•黎曼 \(zeta\) 函數

假設有一個複數 \(s\) ,他的實部大於\(1\)(\(Re(s)>1\)),我們定義黎曼 \(zeta\) 函數為:

\(\displaystyle{ \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}}\) 

黎曼 \(\zeta\) 函數被認是主要和數論較為相關,也就是超級純的純數學。然而它在物理、應用統計的理論中也會出現。若有興趣的可以上維基百科聞香一下,或是參考郭嘉南前輩所寫的黎曼Zeta–函數與 Bernoulli 數

•黎曼曲面

黎曼的博士論文導出了黎曼曲面的概念,依照維基百科的解釋:黎曼曲面被視為是一個複平面的變形版本,在每一點局部看來,他們就像一片複平面,但整體的拓撲可能極為不同。例如,他們可以看起來像球或是環,或者兩個頁面粘在一起…咦?大家還醒著嗎XD 沒關係,阿班也是有看沒有懂。其他像是黎曼曲率張量、黎曼球面、黎曼-XXX定理等等,還發展了黎曼幾何,並為愛因斯坦(Einstein)的廣義相對論提供了數學基礎。這些都可以看出黎曼對於現代數學的重大貢獻,有太多的概念是現代數學家都尚未研究完成,甚至擴展了新的數學領域。

數學界的聖杯-黎曼猜想

萬一以上名詞你都沒聽過,那或許你曾經在幾年前看過關於「黎曼猜想」的報導?基於上面黎曼 \(zeta\) 函數的定義

\(\displaystyle{ zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+…}\)

在非平凡零點(也就是\(s\)不為\(-2、-4、-6…\))的實數部分是\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)

多年來這個猜想可是困擾著很多數學家,還被稱為「猜想界皇冠」,還被列為千禧年大獎難題呢!一百多年過去了,數學家還沒有人能拿出嚴格的證明,關於黎曼猜想甚至有兩個笑話:如果魔鬼和數學家交易用靈魂來換一道命題的證明,那麼數學家高機率會選擇黎曼猜想。另一個笑話則是:如果黎曼在五百年後復活了,他起來第一件事肯定是問:「黎曼猜想證明出來了嗎?」(其地位之偉大可以被做成各種迷因了)

而開頭之所以提到幾年前的報導,是由於當時有位叫做麥可·阿蒂亞(Michael Atiyah)的數學家表示他已證明了黎曼猜想,引發譁然和各方興趣。當然,如今還叫做黎曼「猜想」,可想而知阿蒂亞並沒有證明出來。雖然年事已高的阿蒂亞在某方面已成為數學界的頑固老頭還引發不少鬧劇,但好歹他老人家也是過菲爾茲獎的,這對他來說並不足以撼動他的地位。

黎曼的簡潔有力

黎曼的研究一直以來都保持著簡潔有力,並以直觀的推理為基底,或許這讓他的研究相較起來稍微不那麼嚴謹,但這些傑出的想法也一直是讓他的研究能保持乾淨、不被冗長算式所充斥的原因。

英年早逝

關於黎曼本人的資料,相較於其他數學家,可說是少了許多。他在36歲結婚,由於有肺病,很早就開始了療養身體的生活。在40歲時病情惡化,在義大利去世。雖然黎曼英年早逝,但他的遠見讓後世的數學家得以將這些概念拓展出許多新的領域,影響至今。

加些好料

維基百科-伯恩哈德·黎曼
Mactutor-Georg Friedrich Bernhard Riemann
黎曼Zeta–函數與 Bernoulli 數
黎曼猜想被證明了?Michael Atiyah 的愚人節難道在 9 月嗎

英文調味

◊ 拓樸學 – Topology
◊ 黎曼積分 – Riemann integral
◊ 黎曼曲面 – Riemann surface
◊ 黎曼猜想 – Riemann hypothesis
◊ 廣義相對論 – general ralativity、general theory of relativity
◊ 千禧年大獎難題 – Millennium Prize Problems

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