高斯 Gauss

這次介紹哪位數學家?給個提示:他是德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。猜不出來?再給個提示,他和阿基米德、牛頓並列為三大數學家。好吧再給個提示:人稱「數學王子」,九歲時就會在短短幾分鐘內計算1加到100。這故事總該聽過了吧?接下來的篇幅中,要為你介紹的是高斯!

 

高斯小資訊

卡爾·弗里德里希·高斯
Johann Carl Friedrich Gauss
出生:1777年04月30日
逝世:1855年02月23日
國籍:漢諾瓦王國(位於現今德國)

高斯肖像
(圖片來源:維基百科

1+…+100 = ?

想像一下,在你九歲的時候遇到一位失去教學熱忱的老師,他正想辦法混過每一堂課。今天他又出怪招了,叫你們這些小鬼頭從1加到100。這對一個剛學加法沒多久的小朋友可是艱鉅的任務啊!於是同學們都開始埋頭苦幹起來,看來老師又可以多混一堂課了。這時候某位同學卻很快地停筆了,他不是不會寫,而是早就算好了。這個人就是後來人稱數學王子的高斯。

像是沒喝到孟婆湯般的數學天賦

高斯會被稱呼為「數學王子」並非過譽,他年紀輕輕就對數學展現了極大的天賦。在高斯3歲時,即可以指證他父親在帳目上的錯誤,故事的真實性已不可考,但往後的成就也讓這段軼事廣為流傳。高斯在12歲時已經開始會懷疑幾何學中的基礎證明,15歲進入學院,開始對高等數學做研究,而後便預測在歐氏幾何之外必然會產生一門完全不同的幾何學,也就是後來的非歐幾里德幾何學。

有學過尺規作圖嗎?用一支沒有刻度的尺和一把圓規,想辦法做出你想要的圖形,例如畫兩條垂直的線、一個30度的角或是正五邊形等等。那麼想像一下,今天要用這兩個工具畫出正十七邊形,要怎麼畫?這圖形光是用想像的就不太簡單了吧,而高斯在19歲時成功做到了。這個成就讓他非常得意,甚至還表示希望以後自己的墓碑上能刻一個正十七邊形,以紀念這項非常重要的數學發現。

在22歲時,高斯交出第一篇博士論文。這論文證明了代數上一個重要的定理:「任何一元代數方程都有解(根)」,在數學界被稱作「代數基本定理」。每次碰到這種年少得志的故事,阿班都覺得那些人轉世之前一定沒喝孟婆湯。

處處有高斯

其實不單單是數學,在其他領域中高斯也是頗有心得,光是以「高斯」命名的研究成果據說就達到110個了呢!所以即使不是在純數學領域,或許是統計、分析、大地測量學、天文學、力學、光學等等之中,你也應該會看見高斯這個名字,可以說就算只單看一個領域的成就,高斯也是很有份量的一位科學家。這些巨大的貢獻也使得專門紀念高斯的物品出現,像是郵票、紙鈔等等。 

完美主義者

「寧缺勿濫」這句成語應該熟悉吧?用在高斯身上恰恰好。在高斯出版或發表的研究數量可以發現,他並不是一位主打多產的數學家。高斯十分重視理論和證明的嚴謹,沒有十足把握、不夠成熟的東西他不會發表。所以高斯很常在他同事發表結論時說:其實他已經很早就證明過了。當時發展非歐幾里得幾何學的有三位,分別是高斯、匈牙利的鮑氏(János Bolyai, 1802-1860)以及俄國的羅氏(Nikolai Lobachevsky, 1792-1856),類似牛頓和萊布尼茨的微積分鬧雙胞,只是沒鬧得那麼激烈。其中鮑氏的父親也是一名數學家,和高斯是好朋友,當鮑氏的理論發展完後他迫不及待拿這作品給高斯看,高斯雖然極為欣賞,卻也回覆了這麼一句話:「我不能稱讚你兒子,因為那等同於讚美我自己。」也就是說,他早在約翰發表前三十年前已證明完畢。這些很像在放馬後炮,聽起來也不太舒服的話語,在高斯死後的筆記中都被證明了,甚至至少有20部這類的筆記。

高處不勝寒

創造性直觀、卓越的計算能力、嚴密的邏輯推理、精密的實驗,高斯將這些特質巧妙又和諧的融合在一起,解決了自然科學大大小小的問題。不過也正是因為高斯許多想法走在非常前端,出類拔萃的他卻也總是找不到人可以一起分享想法,或許是這個緣故,高斯總帶給人冷冰冰的印象。在教導方面,也是秉持著寧缺勿濫的信念,並沒有收太多的學生,可以說雖然高斯應該接觸過各個領域的人,但論思想上的話是蠻孤獨的。

各領域都參一咖

在數學上,他導出了二項式定理的一般形式,發現質數分佈定理、算術幾何平均、最小平方法(因為其他領域中也有關於數學的發現,所以這邊寫稍短一些)。

在統計領域中,剛開始會頻繁接觸到的標準常態分佈曲線,是高斯在研究曲面與曲線計算時得到的高斯鐘形曲線。

在天文上,由於當時義大利一位發現穀神星的天文學家因病耽誤了觀測,失去了這顆小行星的軌跡。而高斯利用以前的觀測數據,算出穀神星的運行軌跡,而後天文學家亦循著這條軌跡成功找尋到了這個小行星。也讓高斯在天文學界中從此聞名,並將此種方法寫在他的著作《天體運動論》中。

在大地測量領域中,他利用自己發明的最小平方法,成功提高量測的精確性。而後他發明了日光反射儀並不斷改良設計,發展成被廣泛用的鏡式六分儀。在處理觀測成果的計算中,高斯寫了將近20篇有關大地測量學的論文,也在這段時間發現曲面和投影的理論,這成了微分幾何的重要基礎。

在物理研究中,他和德國物理學家威廉.韋伯畫出了世界第 一張地球磁場圖,而且定出了地球磁南極和磁北極的位置,並於次年得到美國科學家的證實。

在數論、代數、函數論、微分幾何、機率論、力學、水工學、電工學、光學等等都有他參一咖,阿班相信高斯為現代世界的貢獻無疑是往前推演了幾十年。

還有好多沒說的故事

相對於高斯的成就,這篇幅算是非常短的。當然,阿班仍會持續不斷更新、修正。在這邊阿班想講的是,初次寫完這篇的小小感想。

相信很多人在追尋夢想的旅途中,一定都經歷過被別人否定的情節吧!甚至你也可能當過潑別人冷水的人。尤其是高中或大學在選科系的時候最常見:你讀這幹嘛?能當飯吃嗎?幹嘛不選個電機或資工?

其實阿班也被問到很徬徨,但整理完高斯的故事卻給我很大的啟發。即使像高斯如此有天賦的人,當初也曾被父親反對過:數學能當飯吃嗎?(原來是流傳快三百年的問題啊……)而高斯不但證明了數學能當飯吃,還吃得不錯。他不僅僅是在數學發展,還向外延伸多個領域,而在其他領域研究的同時,也能順便加強他對數學理論的研究。或許會有人說:「那是有天賦的高斯,你不一樣。」當然不一樣囉!每個人都是獨一無二的存在,你究竟能用你的專業做出什麼成果,高斯也不一定能夠做得出來。

阿班想鼓勵暫時看不到前路的人,或是一些曾被潑過冷水的人:不論什麼領域,觸角延伸層面是相當廣大的,或許會比別人辛苦一點吧,或許會沒沒無聞個幾年吧,但一旦對自己的領域得心應手,哪裡的路你開不出來呢?所以徬徨無措的人們,別忙著自我懷疑,要更加精進自己的能力,加油喔!

加些好料

維基百科 – 卡爾·弗里德里希·高斯

英文調味

◊ 最小平方法 – least squares method
◊ 常態分布 – normal distribution、Gaussian distribution

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